35. Interaction entre colonne d'air, anche et voies respiratoires du musicien dans les instruments à vent.
Arthur H. Benade
Extrait de Vocal Fold Physiology: Biomechanics, Acoustics
and Phonatory Control, Denver Center For Performing Arts (1985), ed Titze
and Scherer.
Original
version in English
RÉSUMÉ
Les instrumentistes ont toujours insisté sur l'importance
d'obtenir une configuration correcte de leur voies respiratoires. C'est
pourquoi les succès apparents de la théorie usuelle
des anches vibrantes et des colonnes d'air musicales, qui ne tient pas
compte des effets de la colonne d'air interne de l'instrumentiste, sont
devenus de plus en
plus mystérieux au fur et à mesure que le sujet mûrissait.
Puisque cette théorie
a été utile jusqu'à présent pour guider la
construction de bons
instruments, la confiance en ces techniques est suffisante pour
permettre d'aborder sérieusement le problème de son extension
incluant les voies respiratoires de l'instrumentiste. La plus grande
part de l'énergie est produite à des fréquences où A[(Zu +
Zd)//Zr]≈>l.
Ici, A et Zr sont la transconductance et l'impédance
de l'anche tandis que Zu et Zd sont les
impédances d'entrée des colonnes d'air vues en amont et en
aval de l'anche. Des effets non-linéaires couplent ces sources d'énergie
via une action hétérodyne, que l'on prenne en compte Zu ou
non. Le développement des techniques de mesure par FFT et réflectométrie
d'impulsion pour les impédances des colonnes d'air de l'instrument et
du musicien ont permis une extension significative de la théorie. La plupart
des configurations de voyelles (supraglottales) créent des pics d'impédance
Zu dans la gamme des 450 à 1500 Hz qui sont capables de jouer
un rôle important pour les instruments. Le fait que ces pics ne coïncident
pas avec les fréquences des formants de la parole a contribué à entretenir
la confusion, de même que le fait que certains instrumentistes utilisent
inconsciemment les résonances de leurs voies respiratoires alors
que beaucoup ne les utilisent pas du tout.
I. INTRODUCTION
Ce rapport a pour but de fournir un compte-rendu préliminaire
sur la façon dont les voies respiratoires de l'instrumentiste
interagissent avec la colonne d'air et l'anche d'un instrument à
vent. Nous avons aujourd'hui une très bonne compréhension
théorique de l'interaction entre l'anche et la colonne d'air,
dans la mesure où il est possible non seulement de
décrire la nature acoustique de l'interaction mais
également de l'utiliser comme un guide efficace du facteur
d'instruments dans ses efforts pour construire un bon instrument ou
pour en améliorer un déjà existant. C'est pourquoi
notre mission est relativement simple : nous devons seulement montrer
comment les complexités additionnelles liées à la
colonne d'air de l'instrumentiste modifient la physique
mathématique du système plus simple anche/colonne d'air,
puis examiner la façon dont le système modifié
diffère dans son comportement de celui qui a été
complètement étudié.
La première réaction du lecteur au paragraphe précédent
pourrait bien être une remarque du genre : "depuis des centaines
d'années les musiciens ont insisté sur l'importance
de la configuration de la bouche
et de la gorge de toute personne qui veut jouer d'un instrument
à vent à un bon niveau. Comment alors peut-on prétendre
sérieusement avoir compris un instrument à vent sans tenir
compte de ce fait ? En outre, comment peut-on ensuite présenter l'importance
de la colonne d'air interne de l'instrumentiste comme une nouvelle découverte
?" J'espère que les réponses à
ces questions importantes vont d'elles-mêmes clarifier la nature
de ce qui a été nouvellement compris.
Pendant de nombreuses années j'ai vaillamment dit à mes amis
musiciens (et à moi-même, dans mon incarnation en tant qu'instrumentiste
amateur sérieux) que le rôle de la colonne d'air de l'instrumentiste
pourrait être clarifié seulement après que les autres
facteurs plus évidents de la vibration musicale
auraient été
correctement élucidés.
En fait, aujourd'hui la question s'est inversée, prenant la forme
: "comment une partie aussi largement influente du système
dynamique a pu rester incognito pendant des années d'investigations
où des
modifications de seulement deux ou trois
paramètres acoustiques parmi des milliers d'autres pouvaient
aisément être associés à leurs
conséquences
dynamiques
et musicales?"
Il sera peut-être utile de reformuler les remarques précédentes
de la
façon suivante avant que nous regardions la physique elle-même.
LES VOIES RESPIRATOIRES DES POUMONS A LA BOUCHE
INFLUENCENT-ELLES DE
MANIÈRE SIGNIFICATIVE LE JEU DES INSTRUMENTS A VENT ?
1. LES MUSICIENS SONT UNANIMES POUR DIRE
QUE OUI.
2. L'ACOUSTICIEN MUSICAL A EU TENDANCE À IGNORER
LA QUESTION, OU À LA METTRE
DE CÔTÉ COMME UNE INFLUENCE RELATIVEMENT PETITE.
Le point (2) ci-dessus est une simplification délibérément exagérée.
Des mesures et des spéculations d'une nature acoustique ont été
faites au cours des décennies, mais pour
différentes raisons aucun consensus clair ne s'est développé.
Le
récit détaillé de cette branche de l'histoire ne contribuera
pas
de façon appréciable à notre but actuel, qui est de
donner une description concise de ce qui est connu aujourd'hui, sous une
forme qui (si tout va bien) soit intelligible à un lectorat qui
s'intéresse principalement à la biophysique de l'instrumentiste lui-même
plutôt
qu'aux
détails de son interaction avec un instrument à vent.
Arrivé à ce point de mes observations
préliminaires, je voudrais qu'il soit clair
que le présent
rapport veut être
un peu plus
qu'une annonce de certains des résultats récents obtenus à
Cleveland. Pour la brièveté, je courrai donc le risque de
frustrer
mes lecteurs et d'ennuyer d'autres chercheurs dont les
résultats
n'y sont pas correctement cités. Je mentionnerai cependant ici
le nom ceux de mes collègues passés et présents qui
ont apporté une contribution particulièrement large (au
delà des
limites de leurs publications) aux investigations
rapportées
ici ; ce sont
Walter Worman, George Jameson, Stephen Thompson, et Peter
Hoekje. Le présent rapport n'aurait pas été possible
sans leur collaboration directe. C'est vrai de George Jameson et de
Peter Hoekje en particulier. A part cela, je présenterai
seulement les détails bibliographiques qui peuvent directement aider
le lecteur dans sa compréhension de la discussion actuelle. Un
rapport formel de recherches avec les références et la
documentation appropriées est préparé par Hoekje
et moi-même pour être soumis au Journal of the Acoustical
Society of America.
II. FORMULATION DU PROBLÈME
La
figure 35-1 montre la nature générale du système
dynamique considéré. Le système peut être considéré comme
la concaténation de quatre segments principaux :
le conduit sublaryngal (terminé à son extrémité inférieure
par les
poumons de l'instrumentiste), le larynx (qui dans le cas présent est soit
grand ouvert soit partiellement fermé d'une façon qui ne lui
permet pas
de vibrer), le tractus vocal (qui est largement réglable par
l'intermédiaire des mouvements du palais mou, de la langue, des
mâchoires, etc..), l'anche de l'instrument de musique (dont
le point de fonctionnement, l'amortissement, etc., sont commandé par
la position et la pression des lèvres de l'instrumentiste), et la
colonne d'air musicale (dont les propriétés acoustiques
sont commandées
par
l'intermédiaire des doigts de l'instrumentiste sur les divers clefs
et/ou
trous).
Dans tout instrument à vent, bois, cuivre, voix (ou
même harmonica !), nous trouvons trois sous-ensembles en interaction
: un conduit d'air de l'émetteur de vent (la colonne d'air interne
de l'instrumentiste ou le pied du tuyau d'orgue et la boîte à
vent située en-dessous), un dispositif de régulation
de débit
(l'anche de roseau ou les lèvres pour un instrument à vent
orchestral, le larynx du chanteur, l'anche libre de l'harmonica, ou l'anche
d'air du flûtiste), et enfin une
certaine sorte de résonateur et de système
de
rayonnement qui assure le couplage final à la salle dans laquelle
le son doit être émis. Mettant de côté la
famille des
flûtes, le dispositif de commande d'écoulement
est
un piston dont le degré de fermeture est déterminé par
la
différence de pression entre les deux côtés d'une surface
de fonctionnement.
La figure 35-2 présente deux versions du système basique commandé par la
pression. L'une des pressions de commande est maintenue en partie par les
poumons et produite en partie par les perturbations acoustiques ayant leur
origine dans le conduit respiratoire de l'instrumentiste (en abrégé PWW
pour "player's wind-way"). L'autre pression agissant sur la valve (l'anche)
provient de l'embouchure de l'instrument et résulte de l'activité acoustique
qui se produit dans la colonne d'air de l'instrument
(en abrégé IAC pour "instrument air column"). Dans
la figure 35-2a le fonctionnement de la valve est tel qu'une augmentation
de pression en aval pd entraîne
une augmentation de débit. Ce fonctionnement est typique des instruments
à anche d'orchestre et des jeux d'orgue à anche. La figure
35-2b montre, au contraire, un système où le fonctionnement de la valve
est inversé et où une augmentation de pd réduit
le débit u, fonctionnement typique des cuivres.
Par
commodité, nous définirons les directions dans ce système de guide d'ondes
pratiquement uni-dimensionnel à l'aide des termes "amont" et "aval",
par référence au sens d'écoulement de l'air depuis les poumons de l'instrumentiste
jusqu'à la pièce dans laquelle il joue. Ainsi l'une des pressions qui commandent
le débit agit sur le côté amont de l'anche tandis que l'autre s'exerce
sur le côté aval. La terminologie basée sur cette convention
empêche les ambigüités du genre de celles que produirait l'utilisation
des mots "haut" et "bas". Pour un clarinettiste, l'air circule vers le
haut dans les voies respiratoires puis vers le bas dans l'instrument. Imaginez
de décrire de la même façon ce qui se passe dans un
tuba ou un basson !
Il est commode aussi de caractériser le PWW et la IAC par leurs
impédances
vues par le contrôleur de débit. On désignera par
Zu l'impédance
du PWW vue en amont, tandis que l'impédance de la IAC sera notée
Zd.
L'anche elle-même nécessite deux caractérisations,
puisqu'elle joue deux rôles dans le système vibratoire complet.
Nous définirons son impédance
acoustique Zr comme la vitesse du volume qu'elle déplace
quand elle bouge en réponse à une variation de pression exercée
sur l'une quelconque de ses faces
(voir la figure 35-2) ; l'autre propriété, peut-être
la plus basique, est sa caractéristique de contrôle de débit
qui est en général une fonction
non linéaire.
Cette caractéristique de contrôle de flux est le plus commodément
spécifiée en exprimant le débit u par un développement
de Taylor en fonction de la différence de pression p entre les deux
faces de l'anche, comme dans l'équation 35-1.
u(t) = u0 + A p(t) + B p2(t) + C p3(t)
+ + + +
+
(35-1)
Comme l'anche fonctionne comme un système ressort-masse-amortisseur, on
voit d'emblée que Zr présente une propriété de résonance
qui la rend inversement proportionnelle au facteur D(ω)
défini dans l'équation 35-2.
(35-2)
Ici ωr est la fréquence naturelle
de l'anche et gr est
sa bande passante à demi-puissance. On voit en outre que puisque le débit
d'air qui franchit l'anche dépend de sa position (et donc indirectement
de la pression qui agit sur elle), les coefficients de contrôle de débit
sont eux-mêmes résonants par nature. C'est à dire que ces coefficients
peuvent s'exprimer comme le produit de leur valeur à un régime permanent
de basse fréquence (A0,
B0, C0, . . .) par le facteur D(ω)
défini ci-dessus. Ce fait se révèle très important pour notre compréhension
du jeu des instruments. On peut utilement remarquer que A0 est
positif pour le système de valve des "bois" de la figure 35-2a et négatif
pour celui des "cuivres", représenté sur la figure
35-2b.
Exprimons maintenant la relation entre pression et débit sur les faces
amont et aval de l'anche, en termes d'impédances Zu,
Zd, and Zr.
La direction positive du flux acoustique est définie comme le sens d'écoulement
du flux d'air continu provenant des poumons du musicien.
u = pd/Zd + (pd - pu)/Zr
(35-3a)
-u = pu/Zu + (pu - pd)/Zr
(35-3b)
Le premier terme du membre de droite de chacune de ces équations exprime
simplement la relation ordinaire entre la pression à l'entrée d'un guide
d'onde et le débit qui y pénètre.
Le second terme donne la mesure du flux qui occupe le volume balayé par
l'anche elle-même quand elle se déplace sous l'influence de la différence
de pression entre ses deux faces.
Les équations 35-3a et 35-3b peuvent être combinées d'une façon intéressante
et utile : le débit u qui passe par l'ouverture de l'anche s'exprime très
simplement en fonction de la différence de pression p entre
les faces de l'anche comme le montre l'équation 35-4.
p = u(Zu + Zd)//Zr
(35-4)
Autrement dit, la différence de pression de part et d'autre de l'anche
est proportionnelle à la somme des impédances amont et aval,
en parallèle
avec l'impédance de l'anche (qui tend à être très
grande comparée aux autres
impédances, de sorte qu'elle a un rôle secondaire, quoique
non-trivial, dans le processus d'oscillation). Cette impédance combinée
sera notée
Z sans indice.
Pour préparer la prochaine étape de la discussion,
il faut récapituler la nature du problème dont nous
essayons de décrire la solution. Quand on joue d'un instrument à
vent, les impédances amont et aval (ainsi que l'impédance propre de l'anche)
sont couplées aux poumons, source principale de la pression d'air, via
une valve contrôlant le débit. Le système est maintenu en oscillation par
une boucle de rétroaction dans laquelle la perturbation acoustique au niveau
de l'anche (c'est à dire la différence de pression entre ses faces) commande
le contrôleur de débit, et le débit résultant
sert d'excitateur pour les ondes amont et aval.
L'équation 35-1 nous donne une représentation formelle de
la propriété
de l'anche comme contrôleur de débit commandé par la
pression u(p), tandis que l'équation 35-4 représente de façon
très compacte la
réponse en pression du système global (PWW + IAC + anche) à
une variation de débit. Notons que les deux équations relient le
débit u, qui est le même des deux côtés de l'anche, à la différence de
pression p entre ses faces. En d'autres termes, notre analyse peut se focaliser
sur p et u via l'impédance combinée Z et le "polynôme de contrôle" u(p),
sans avoir à se préoccuper des complications des réponses individuelles
de nos trois sous-systèmes au flux qu'ils engendrent conjointement via
un couplage non linéaire.
Du point de vue de la physique mathématique nous avons ici une
première explication de la raison pour laquelle les effets
produits par le
PWW n'ont pas automatiquement détruit notre capacité à effectuer
des
calculs significatifs guidés, et vérifiés, par
des expériences
avec des anches et divers types d'IAC - il suffisait que le PWW ne
produise pas d'effet antagoniste ou masquant. Nous avons eu la chance,
en effet, pendant
de nombreuses années que ce soit le cas assez
longtemps pour nous permettre d'appréhender solidement la physique
essentielle.
Revenons maintenant rapidement à
la façon dont le comportement essentiel du système peut être
compris. En nous limitant pour le moment au cas d'oscillations strictement
périodiques dans le système, nous exprimons le débit u(t) par une série
de Fourier :
u(t) = Σuncos(nω0t + ψn)
(35-5)
Ici ω0 représente la fréquence du
son produit. Terme par terme, cette série représente le spectre du flux
d'excitation appliqué au système (PWW + IAC + anche).
Étant donnée l'impédance (nette) Z(ω)
de ce système, on note Zn son amplitude à la fréquence
nω0 et Φn sa
phase. La pression correspondant à u(t) peut s'exprimer par :
p(t) = ΣZnuncos(nω0t + ψn + Φn)
(35-6)
S'agissant de mathématiques formelles, les équations
35-1,
35-5, et 35-6 peuvent être résolues simultanément pour
donner le
spectre de pression à travers l'anche pour une pression de
souffle donnée. Tandis que les calculs détaillés
sont très
pénibles, il apparaît possible d'extraire beaucoup d'informations
utiles sur le système. Cette information, qui peut être aisément
vérifiée sur le comportement de systèmes réels,
dépend bien
davantage de la structure mathématique globale du problème
que des valeurs numériques des divers paramètres.
C'est-à-dire que les caractéristiques marquantes de la solution
peuvent être
récapitulées très simplement sous une forme qui dépend
seulement du
comportement systématique des équations trigonométriques
non-linéaires. En outre, quand on résout l'ensemble,
on
trouve (assez étonnamment) que les résultats ne montrent
presque
aucune sensibilité aux phases des impédances ni au facteur
de
résonance de l'anche (équation 35-2) ! Cela ne veut pas
dire que les phases sont non pertinentes ou qu'elles ont des valeurs aléatoires
- simplement que les amplitudes de spectre ne sont pas sensibles
aux phases des Zn et des Dn.
Les équations 35-7 et 35-8 suffiront ici pour indiquer la nature
du
spectre de pression de jeu mesuré à travers l'anche.
En
particulier, le composant fondamental pl, qui est l'amplitude
de pression de la perturbation à la fréquence jouée, obéit
à une équation de la forme :
(35-7)
De même, les composantes plus élevés ont des amplitudes
qui peuvent
tout être écrites sous la forme :
(35-8)
Je précise que dans ces équations il n'y a aucune manifestation
explicite des déphasages liés aux paramètres de régulation
de débit
ou aux impédances. Seules les amplitudes sont importantes quand
l'oscillation est de type périodique.
Nous remettrons à plus tard la discussion de ces résultats
jusqu'à
ce que nous ayons esquissé la description d'un cousin linéaire
de cette analyse, dans lequel nous pouvons voir ce qui arrive au nième composant
de la pression considéré pour lui-même,
le couplage non-linéaire indéniable entre les
composants spectraux étant représenté par une source
de flux Un qui est "externe" au composant en
question.
III. UN COUSIN LINÉAIRE DU PROBLÈME
Supposons que notre système oscille en régime stationnaire à la
fréquence ω0,
avec une partie u(t) du flux produite par le terme linéaire Ap
du polynôme
de contrôle, et une partie U(t) imposée de l'extérieur
par une source, jusqu'ici non spécifiée, de
même périodicité.
Si nous utilisons la représentation de Fourier, le flux
imposé
peut s'écrire :
U(t) = ΣUnejnω0t
(35.9)
et le signal de pression à travers l'anche est :
p(t) = ΣZn[un +
Un]ejnω0t
(35.10)
L'équation 35-10 peut être résolue terme par terme
pour les
amplitudes des composantes du flux en termes d'impédances
combinées Zn et de transconductances correspondantes
An (évaluées
aux fréquences ωn considérées)
:
un = Anpn = ZnAn[un +
Un]
(35-11)
d'où :
un = Un[(ZnAn)/(1 - ZnAn)]
(35-12)
Ici et dans la discussion qui suit avec l'équation 35-13, les symboles
An et
Zn ont leur représentation complexe habituelle, c'est à dire
que l'on prend en compte à la fois l'amplitude et la phase.
L'équation
35-12 a la forme familière qui représente le gain en
courant un/Un d'un amplificateur à rétroaction
dont le gain en boucle ouverte est ZnAn.
On voit immédiatement, par conséquent, que chaque composant spectral du
flux se comporte comme un oscillateur indépendant auto-entretenu
si la partie réelle du gain en boucle
ouverte est exactement l'unité. C'est à dire qu'il n'est pas nécessaire
de recevoir un apport d'énergie externe par le signal excitateur
Un pour
maintenir l'oscillation.
En revanche, si le gain en boucle ouverte ZnAn est
inférieur à 1, l'amplitude du composant de flux un est
proportionnelle à Un. De plus, l'amplitude de un va
décroître exponentiellement jusqu'à zéro si
Un est
subitement arrêté, avec un taux de décroissance proportionnel à la
différence
entre 1 et la partie réelle de ZnAn.
Si, d'autre part, le gain en boucle ouverte est supérieur à 1, une oscillation
exponentiellement croissante peut se produire avec un taux de croissance
qui est de nouveau proportionnel à la
différence entre 1 et la partie
réelle du gain
en boucle ouverte. Dans ces conditions le système de rétroaction
peut (pour le
composant en question) produire plus d'énergie qu'il ne peut
en dissiper, sans nécessiter d'apport additionnel via Un.
Pour autant que notre présent modèle (trop simplifié)
est concerné,
nous
pouvons résumer en disant que l'oscillation de chaque composant
spectral est indépendante des autres, et qu'elle est par nature
instable. Nous sommes évidemment bien habitués à cette
sorte d'instabilité, qui est partagée par tous les oscillateurs
ordinaires, et il est tout à fait usuel de rappeler la présence
d'un amortissement additionnel (non-linéaire) dépendant de
l'amplitude qui
entre en jeu pour stabiliser l'amplitude d'un oscillateur réel.
Dans l'oscillateur musical à plusieurs composants il y a, bien sûr,
plusieurs sources d'amortissement
en fonction de l'amplitude, en plus de celles qu'impliquent Zu,
Zd et Zr (l'amortissement par
turbulence, par exemple). Il y a, cependant, une autre manière dont
de l'énergie peut être
transférée dans et hors de chaque composant spectral, une
manière
qui assure non seulement la stabilité de chaque amplitude composante
sous des conditions beaucoup moins rigoureuses sur le gain en
boucle ouverte, mais garantit également que les diverses
amplitudes ont un rapport bien défini entre elles.
C'est naturellement une condition absolue pour une source de
son musical dont le timbre doit être défini pour
chaque façon de jouer choisie par son utilisateur. La nature
fondamentalement non-linéaire du polynôme de commande défini
dans
l'équation 35-1 montre (en termes les plus simples) que quels que
soient les composants pn du signal de pression pouvant être
produits par l'intermédiaire du terme
linéaire
de ce
polynôme, ils contribueront immédiatement à l'ensemble
de composants du flux à toutes
autres
fréquences harmoniques selon l'arithmétique hétérodyne
(intermodulation) qui peut être généralisée
pour des exposants
arbitraires selon la relation trigonométrique :
(McosP) (NcosQ) = (MN/2)[cos(P+Q) +
cos(P-Q)]
(35-13)
C'est-à-dire qu'on peut maintenant comprendre que les composants "imposés extérieurement" Un de
flux qui ont été présentés dans l'équation
35-9 représentent d'une manière très
simple
(informatiquement inutile mais utile heuristiquement) le transfert d'énergie
de chaque oscillateur modal vers ses
frères. Il n'est plus nécessaire que chaque composant soit précisément
auto-entretenu quand on le considère isolément
; tout ce qui est
exigé est que en tant que groupe les composants spectraux puissent
conjointement produire assez d'énergie pour fournir leur apport énergétique
total au monde extérieur.
Notre modèle quasi-linéaire nous montre encore un autre aspect
de la nature du système non-linéaire réel : chaque
composant
spectral est relié directement ou indirectement à tous les
autres, de
sorte que sa phase est la résultante de nombreuses influences.
La
nature de l'oscillation est telle qu'il y a beaucoup de façons
dont
la phase réelle d'un composant donné peut être réconciliée
avec
celles de ses confrères. Une analyse appropriée prouve que,
en conséquence, les amplitudes spectrales sont déterminées
presque
exclusivement par les valeurs des paramètres Z et A, B,
C appropriés et pas par leurs angles de phase (Thompson 1978).
La discussion jusqu'ici dans ce paragraphe a montré que
la production énergétique
est favorisée aux maxima du produit A(ω)Z(ω).
Dans les instruments de la famille des bois, A est très proche de
A0 sur
la plus grande partie du spectre car la fréquence de résonance
propre de l'anche ωr est relativement élevée
(de l'ordre de 2000 à 3000 Hz pour une clarinette). Dans ces conditions,
la production d'énergie est favorisée aux maxima d'impédance
du système
PWW-IAC-anche. Ceci
indique (si on ignore provisoirement Zu et Zr)
que l'oscillation est favorisée
aux fréquences
des modes normaux de la IAC prise avec son extrémité côté
anche fermée,
comme cela a été reconnu depuis au moins 200 ans
("la
clarinette joue
comme un tuyau fermé").
Une autre implication de notre discussion est que la production énergétique
globale est la plus grande si les maxima d'impédance
sont en relation harmonique entre eux. Ceci assure que chacun des
composants de fréquence hétérodyne produits par les
harmoniques de la note jouée se trouve lui-même à un
des maxima d'impédance qui produisent l'énergie et transfère
de ce fait
l'énergie à un endroit productif dans le processus de régénération.
Exprimons ceci dans des termes plus proches de la musique
comme on le faisait avant d'inclure explicitement
les effets du PWW : un instrument de musique dont les maxima d'impédance
(modifiés par
l'impédance Zr parallèle mais grande) sont en
relation harmonique est
un instrument qui
a une bonne attaque des sons, produit un son propre, fournit une
dynamique contrôlable et des hauteurs de sons stables, et est en
tous points des plus agréables entre les mains de l'instrumentiste
et pour les oreilles de l'auditeur. J'ai présenté une discussion
très étendue
de ces questions dans les chapitres 20 à 22 de mon livre (Benade
1976). La reconnaissance de l'utilité d'un "alignement"
harmonique précis des résonances de la colonne d'air a mené
(depuis les environs de 1964) à une évolution continue
des techniques de
laboratoire et de fabrication pour la mesure et la correction
des positions des résonances appartenant à pratiquement toutes
les
notes de la tessiture d'un instrument. Le comportement des instruments
ajustés au moyen de ces techniques a été beaucoup
admiré par des
musiciens renommés, et les techniques elles-mêmes commencent à
avoir un effet significatif sur la fabrication de tous
les types d'instruments aujourd'hui (du
moins ceux de qualité professionnelle)
Nous avions temporairement mis de côté la possibilité que
le
produit ZA puisse devenir grand au voisinage de la fréquence
de l'anche ωr,
de sorte que l'harmonique pour laquelle nω0≈ωr pourrait
contribuer à la production nette d'énergie même si l'impédance Z elle-même
n'est pas grande. Tandis que le livre contient de nombreuses remarques
qualitatives au
sujet de l'utilité musicale de cette possibilité pour les
bois,
la physique détaillée n'en a été élucidée
que plus
tard (Thompson 1979). Pour la présente étude il suffira de dire
que tous les joueurs d'instruments à anches de haut niveau exploitent
la possibilité d'une source d'énergie supplémentaire
à la fréquence wr en
plaçant
cette fréquence d'anche à une certaine harmonique (n'importe
laquelle !) de la fréquence jouée afin de stabiliser
et épurer
encore plus leur son en incluant un participant supplémentaire exactement
aligné dans le "régime
d'oscillation." Pour les cuivres, l'instrumentiste doit faire
attention à wr, puisque la
note qu'il souhaite jouer est choisie directement en ajustant la fréquence
naturelle de l'anche-lèvre pour la mettre juste en dessous du
fondamental du son désiré. Davantage de discussion de la
dynamique curieuse des cuivres, avec leur valeur négative pour
la transconductance d'anche A(w), nous emmènerait
trop loin des buts de ce rapport. Il nous suffira de noter que la possibilité
d'ajuster la fréquence
de résonance
de l'anche est une ressource musicalement importante pour le joueur d'instrument
à anche et une nécessité inévitable
pour le joueur de cuivres. Dans les deux cas nous
constatons qu'un ajustement physiologique est employé comme une
adjonction aux contrôles mécaniques exercés par les
mains de l'instrumentiste sur les clefs, les pistons et les coulisses
de son instrument.
Nous terminerons cette partie de notre petite présentation
du mécanisme
de production du
son (par
nature non-linéaire et donc très stable) des instruments
à vent orchestraux en précisant une fois
de plus que notre compréhension de ce mécanisme a atteint un niveau très
élaboré sans tenir aucun compte de la
possibilité que la colonne d'air de l'instrumentiste puisse elle-même
jouer
un rôle significatif. Notre analyse actuelle a prouvé que
Zu intervient dans
les équations dynamiques d'une façon qui est entièrement
symétrique de celle de Zd. Pour le scientifique,
ceci signifie qu'il n'a pas besoin de retoucher toutes ses équations
quand il ajoute la
prise en compte de Zu à son analyse de Zd et
Zr : le symbole Z
prend simplement une signification légèrement différente.
Du point
de vue du musicien cela signifie que l'instrumentiste a une
ressource d'ajustement physiologique additionnelle à sa disposition
(dont nous pouvons maintenant voir la nature dynamique d'une manière
générale). Pour nous tous, il reste pourtant la question
de savoir pourquoi l'effet dynamique de cette ressource a pu demeurer
scientifiquement ignorée pendant aussi longtemps, question à
laquelle une réponse partielle sera donnée ci-dessous..
IV. IMPLICATIONS
SPECTRALES
Maintenant que nous avons esquissé la nature générale
du
processus de régénération non-linéaire à plusieurs
composants
qui
fonctionne dans les instruments à vent orchestraux, nous sommes
en mesure d'examiner le spectre du signal de pression de
commande p(t), donné dans les équations
35-7 et 35-8 ci-dessus. Rappelons que dans ces équations nous avons
besoin seulement des amplitudes des paramètres Z, A, B, et C !
La première
chose que nous
notons est que les dénominateurs de ces équations sont presque
exactement semblables au dénominateur de l'équation 35-12,
de laquelle nous
avons appris l'importance cruciale du produit ZnAn pour
commander la quantité d'énergie
qui peut être produite à la nième harmonique.
Le seul aspect peu familier est la présence
d'autres composants spectraux dont l'influence s'ajoute à l'effet
direct du composant en question. Dans les équations 35-7 et 35-8
ces
pj supplémentaires sont les représentations explicites
(dans une
formulation pratiquement exacte) des contributions du "flux
imposé" qui ont été présentées
heuristiquement dans l'équation
35-9. Hormis ceci, les dénominateurs ont presque exactement la même
signification dans la formulation exacte que dans notre
version d'introduction. Nous pouvons le voir explicitement dans
l'équation 35-7, qui fournit des informations sur le composant
fondamental du spectre. Nous commençons en considérant la
forme
prise par cette équation dans la limite de basse amplitude, où les
termes quadratiques et d'ordre supérieur
dans le polynôme
de flux
(équation 35-1) n'ont aucun rôle à jouer. Dans ces
conditions, le
fait que p2 et d'autres composants d'ordre supérieur
soient nuls signifie que s'il y doit y avoir une quelconque oscillation à la
fréquence fondamentale, alors (1 - ZlA)
doit disparaître,
exactement
comme nous en sommes arrivés à le prévoir.
Nous allons maintenant considérer
le numérateur
de l'équation 35-8. Il fournit un couple
de conclusions globales remarquablement simples (qui
sont bien justifiés
par l'expérience
dans des conditions appropriées), comme nous pouvons le voir dans
la version simplifiée notée équation
35-14.
pn = Znpln .
(autres termes à variation
lente)
(35-14)
La première de ces conclusions est que la forme générale
du spectre de
pression contrôlée par l'anche est bien représentée
par l'enveloppe de l'impédance globale de contrôle, et la
seconde est que l'amplitude du nième composant
de pression est proportionnel à la nième puissance
de l'amplitude du fondamental quand celle-ci varie avec la
pression de souffle de l'instrumentiste. En d'autres termes, quand on
joue un crescendo en gardant son masque et son PWW inchangés,
l'oscillation "se développe" depuis une sinusoïde
presque pure vers une forme
d'onde dont les composants grandissent progressivement jusqu'à
la distribution pleinement développée du mezzoforte qu'implique
l'équation 35-8. Mais en jouant plus fort, l'anche se
ferme complètement pendant une fraction croissante de
chaque cycle, provoquant un type entièrement nouveau de développement
spectral qui a son
enveloppe déterminée par la durée de passage des bouffées
d'air
par l'anche. Par ailleurs il faut seulement noter
le parallélisme exact de forme mathématique entre
les dénominateurs
des équations 35-7 et 35-8.
Il est maintenant facile de décrire les
deux spectres (qui peuvent être mesurés) de chaque côté de
l'anche : c'est-à-dire le spectre mesuré dans l'embouchure
de
l'instrument (comme cela a été fait pendant de nombreuses
années
pour
développer la théorie de base décrite ici)
et le spectre
mesuré dans la bouche de l'instrumentiste. Si nous notons (pn)u et
(pn)d ces deux composants du spectre de pression
et rappelons que
Zn = ((Zu + Zd)//Zr)n ,
alors
(pn)u = un(Zu)n = pn(Zu /Z)n
(35-15a)
(pn)d = un(Zd)n =
pn(Zd /Z)n
(35-15b)
Si (comme on le sait depuis de nombreuses années), Zr est
assez grand pour n'avoir qu'une faible influence sur l'amplitude de Z,
et si (comme on l'a supposé pendant presque aussi longtemps) Zu est
relativement petite et sans particularité, des équations
comme 35-7 and 35-8 semblent s'appliquer directement au spectre dans l'embouchure,
calculé en utilisant Zd qui
est obtenu par des mesures sur la IAC. En fait des expériences
de cette sorte ont été réalisées et ont fourni
une fraction significative de la preuve qui jusqu'à aujourd'hui
a justifié notre confiance en la théorie ainsi décrite.
Notons de nouveau ce que nous devons au fait étonnant mais bénéfique
que nous n'ayons pas eu conscience de l'influence du PWW jusqu'à ce
que nous ayons été prêts à le prendre en
compte !
Il est évident que des variations des amplitudes
du spectre de pression dans l'embouchure devraient directement refléter
des changements des pics d'impédance correspondants,
comme on le voit par le numérateur de l'équation
35-8 et le
principal facteur dans l'équation 35-14. Il n'y a qu'un petit pas
à franchir pour que nous invoquions la symétrie
amont/aval du système comme justification de l'idée
que
des variations de Zu produites par des mouvements de langue
et de bouche de l'instrumentiste produiront exactement des changements
parallèles du spectre de pression mesuré dans sa bouche.
Mais on ne voit pas immédiatement ce qui
arrive au spectre d'un côté de l'anche quand l'impédance
varie de l'autre côté.
La différentiation de l'équation
35-15a
par rapport à Zu et de l'équation 35-15b par rapport
à Zd nous donne une représentation explicite
des ces influences croisées. On obtient ainsi un résultat
très étonnant :
EN PREMIÈRE APPROXIMATION, CHANGER Z D'UN CÔTÉ DE
L'ANCHE NE PRODUIT AUCUN CHANGEMENT DU SPECTRE DE L'AUTRE CÔTÉ !
En y regardant de plus près nous constatons qu'il y a en effet
de petits
changements, particulièrement si le composant spectral perturbé est
l'un de ceux pour lesquels le produit ZA est voisin de l'unité - si, en
d'autres termes, il peut presque complètement équilibrer
son propre
budget d'énergie, et ainsi s'auto-entretenir sans fournir ni consommer
l'énergie des autres composants.
Nous terminerons cette discussion de la formulation théorique
globale
du processus d'entretien des oscillations dans les instruments
à vent par un court résumé des points principaux, laissant de côté des
implications plus larges jusqu'après la présentation de quelques
données
expérimentales
sur l'influence du PWW sur les régimes de jeu d'instruments réels.
La première remarque qui doit être faite est que les impédances
amont et aval apparaissent symétriquement dans la
théorie. Le deuxième point est que tout ce qui concerne l'oscillation
est directement déterminé par l'impédance combinée
Z définie
dans
l'équation 35-4. Le troisième point est que si les maxima
de Z sont en relation harmonique, l'oscillation est stabilisée,
propre et contrôlable, ce qui favorise une bonne exécution
musicale. En quatrième point, alors que des variations
de Zu et Zd changent le spectre observable
du côté où elles se produisent, il y a généralement
peu ou pas de changement
de l'autre côté de l'anche.
Le point trois ci-dessus peut nous donner une
explication analytique de la raison pour laquelle un instrumentiste peut
trouver avantageux de moduler son PWW. De même, le point quatre
nous donne un indice sur la raison pour laquelle ces effets
n'ont pas été
immédiatement discernables au cours des recherche ou mesures habituelles
faites seulement en aval de l'anche !
V. MESURE DE L'IMPÉDANCE DU CONDUIT RESPIRATOIRE DE L'INSTRUMENTISTE
Comme
on l'a déjà remarqué, une des
raisons pour pour lesquelles
bon nombre d'entre nous ont tenu pour acquis que le PWW avait
peu d'effet sur le processus de base d'entretien de la vibration dans
un instrument à vent était l'hypothèse que les conduits
ramifiés et à parois molles des poumons du musicien fonctionnaient comme
une terminaison pratiquement non-réfléchissante du conduit
sub- et supraglottal. Nous avons été encore encouragés
dans
la croyance que la colonne d'air en amont était peu susceptible
d'avoir un rôle important par le fait que la base des tuyaux et
la boîte à vent d'un orgue à tuyaux ont une influence relativement faible
(mais pas musicalement négligeable !) sur le
son et la stabilité des notes émises. Il y
a vingt-cinq ans, ceci nous a donné une raison suffisante pour
avancer hardiment, sur les conseils des écrits de Henri Bouasse
(Bouasse, 1929-30), encouragés peu après par les premières
mesures précises
de la
transconductance de régulation de débit de l'anche de clarinette
(Ao) effectuée par John Backus (Backus 1963).
Alors qu'on pouvait faire des mesures précises des impédances
d'entrée
de la IAC dès le début de
cette période active (voir des exemples de technique de mesure
dans Benade 1973), les
techniques de balayage des fréquences alors disponibles, nécessairement
lentes, ne pourraient être
adaptées
aux
mesures sur le PWW qui est hautement variable. L'arrivée plus récente
de
procédures commodes par FFT a amené bon nombre d'entre nous à
concevoir des méthodes d'excitation par impulsion de flux, où
l'impédance est déduite de la transformée de Fourier
du signal de
réponse de pression. Le lectorat de cet article étant bien
plus au courant que moi de l'historique de ce sujet, la présente
liste de références
a seulement pour but d'en citer quelques uns qui ont influencé très
tôt
mes idées sur ce type de méthode
(Oliver 1964 ; Rosenberg et Gordon 1966 ; Fransson 1975 ; Dawson
1976 ; Kruger 1980). Les autres paragraphes de ce chapitre seront
consacrés d'abord à une indication de la nature de l'appareil
que
nous avons commencé à utiliser, puis à la présentation
de l'impédance
d'entrée du PWW (Zu) mesurée pour différentes
configurations de
tractus, et finalement à une description d'une partie de l'information
que l'on peut en tirer.
La tête de mesure d'impédance utilisée dans nos présentes
expériences
est du type représenté sur la figure
35-3 (Ibisi et Benade 1982). La
source primaire de son est un disque piézoélectrique de "beeper" de
27 mm de diamètre collé sur
l'extrémité
d'un court morceau de tube en plastique
à parois épaisses de 20 mm de diamètre intérieur
et 32 mm
de diamètre extérieur, par un joint en mastic de silicone.
Le signal de pression est détecté par
un
microphone à électret dont l'ouverture de 3 mm
débouche dans le
tube à seulement 12 millimètres de la face interne du transducteur
piézoélectrique. Si le transducteur piézoélectrique
est considéré
comme un oscillateur harmonique unimodal sans perte, alors un signal de
tension en dent de scie à montée linéaire produira
une impulsion simple de vélocité de la forme
v(t) = V[1 -
cos(2πt/T)]
(35-16)
pour 0 < t < T (zéro ailleurs), pourvu que la durée
T de montée en tension
soit exactement égale à la période naturelle de vibration
du transducteur. Seule une légère modification de la forme
d'onde de la tension d'excitation est nécessaire pour assurer un
signal d'excitation en vélocité très similaire
quand on tient compte du fait que le transducteur est un oscillateur amorti
(un rapport détaillé sur ce sujet, entre autres,
est en préparation pour soumission au JASA*). Il suffit de
dire que notre impulsion d'excitation a un FWHM
d'environ 0.083 milliseconde, de sorte que la mesure par FFT de Zu soit
possible sans correction jusqu'à bien au delà de la limite
de 2500 Hz
de notre principal domaine d'étude.
|
|
Traduit en mars 2004 par Joël Eymard pour le site web "Tout sur la trompette" avec l'autorisation de Virginia Benade