Figure 1. Systèmes de mesure et d'étalonnage des différences de phase : (a) microphone de mesure et jauge de contrainte pour détecter la pression dans l'embouchure et la contrainte de la lèvre, respectivement, (b) installation d'étalonnage pour fournir une référence de la différence de phase de 180° entre la pression et les signaux de contrainte, et (c) canaux dynamiques de pression et de contrainte pour la mesure de différence de phase.

Un système pour mesurer la différence de phase entre la pression acoustique dans une embouchure et le déplacement vibratoire de la lèvre supérieure est esquissé à la fig. 1(a) et (c). Une jauge de contrainte (type B-FAE-05W-12 de Shinkoh) a été étroitement fixée à la lèvre supérieure par un morceau de ruban adhésif double face (Nichiban, Celtack CW-18). Cette jauge est très petite (0,5 millimètre de long et 1,2 millimètre de large) et n'a pas entravé la flexibilité de la lèvre même pour jouer du cor et de la trompette. La jauge, traitée comme une résistance électrique, est reliée par un conducteur court à un circuit en pont (modèle Kyowa DB-120P) qui est équilibré quand aucune contrainte n'est appliquée. La contrainte appliquée est lue comme une tension électrique, qui apparaît comme un écart par rapport à l'équilibre. Ce signal est amplifié par un amplificateur dynamique de contrainte (modèle Kyowa DMP-611, avec un filtrage passe-bas appliqué à 1 kHz) et par un amplificateur additionnel (modèle 451 d'Ithaco). Le signal amplifié est envoyé à un enregistreur numérique de forme d'onde sur 12 bits (modèle 5183 de Hewlett-Packard).
La pression acoustique dans une embouchure (ou à l'entrée d'un tube sans embouchure) est prise par un microphone de mesure (type 4182 de Brüel et de Kjaer), qui est relié à un amplificateur (type 2609 de B&K). La sonde du microphone a une longueur de 25 mm et un diamètre interne de 1,24 millimètre. Le signal amplifié est alors envoyé à un autre canal de l'enregistreur de forme d'onde ci-dessus. Finalement, la pression et les signaux de contrainte, qui sont simultanément mesurés, sont transformés en spectres de phase dans le domaine des fréquences. La différence de phase Lp – Lε est obtenue en soustrayant le spectre de phase de la contrainte dynamique Lε de celui de la pression acoustique Lp et en lisant la valeur à la fréquence jouée.
Avant de mesurer les différences de phase dans les quatre systèmes acoustiques mentionnés dans l'introduction, on a brièvement examiné l'applicabilité de la technique de détection de contraintes pour la vibration des lèvres. Les lèvres sont mises en vibration (c'est le "buzzing") quand de l'air est soufflé entre les lèvres initialement fermées. L'auteur a mesuré avec une jauge de contrainte une telle vibration auto-entretenue de ses lèvres et a obtenu le résultat suivant : les vibrations stables des lèvres avaient une fréquence fondamentale comprise entre 25 et 48 Hz avec une structure harmonique très riche atteignant jusqu'à la 17ème-21ème harmonique, où le niveau du signal se confondait presque au niveau du bruit. La gamme dynamique de notre système de mesure de contrainte a été alors estimée à plus de 40 dB quand le filtrage passe-bas a été appliquée à 1 kHz. Ce résultat a prouvé l'efficacité de la détection de contrainte pour mesurer la vibration des lèvres d'un joueur de cuivres.

B. Méthode d'étalonnage des différences de phase

Le calibrage pour déterminer la différence de phase entre pression et contrainte montré sur la fig. l(c) a été effectué en utilisant l'installation présentée à la fig.1(b). Un tel calibrage est nécessaire pour définir la différence de phase nulle. La même jauge de contrainte qu'utilisée pour la détection des mouvements des lèvres à la fig. 1(a) a été fixée au centre d'un petit haut-parleur en forme de dôme (modèle Phillips 544) de la manière décrite à la section I A. La pression acoustique a été mesurée juste devant ce diaphragme en utilisant le même microphone de mesure montré sur la fig.1(a).
L'étalonnage est fondé sur l'hypothèse que la contrainte du diaphragme et la pression résultante à proximité doivent être en opposition de phase. Puisque le diaphragme peut être considéré comme une source simple (monopôle) dans la gamme des basses fréquences qui nous intéresse, la pression à proximité p(r) est proportionnelle à l'accélération radiale30 et peut être reliée au déplacement radial ξ d'une source monopolaire selon l'équation :

p(r) / ξ = –ω2ρS / 4πr,

où r est la distance de la source, S la surface de la source, ω est la pulsation et ρ la densité de l'air. On peut raisonnablement supposer aussi qu'aux basses fréquences, où le mouvement du diaphragme est entièrement en phase, la contrainte interne est proportionnelle au déplacement radial. Ces hypothèses permettent de conjecturer que la contrainte du diaphragme et la pression résultante à proximité sont en opposition de phase.
Il en résulte que le montage présenté à la fig.1(b) établit une référence de la différence de phase 180° entre les signaux de pression et de contrainte. La différence de phase Φ entre les deux canaux de la fig. 1(c) est ainsi estimée comme :

Φ = (Lp – Lε)CAL – 180°,       (1)

où (Lp – Lε) indique la différence de phase mesurée par la méthode de calibrage ci-dessus basée sur les fig. l(b) et (c).

C. Relation entre la contrainte et le déplacement de la lèvre supérieure

Nous devons déterminer la relation entre la contrainte et le déplacement de la lèvre supérieure parce que nous avons besoin de la différence de phase calibrée entre la pression d'embouchure et le déplacement de la lèvre. Il faudrait étudier la mécanique des tissus musculaires comme l'ont développée Titze et Talkin11 pour différentes configurations des cordes vocales pour obtenir une relation quantitative entre contrainte et déplacement pour différentes configurations de lèvre. C'est toutefois un problème à traiter dans le futur. Pour le moment il nous suffit d'avoir la relation de phase quand l'instrument joue.
Supposons que la lèvre supérieure se compose d'une masse et d'un ressort dont l'extrémité supérieure est fixe à une position correspondant au bord de l'embouchure. Ce ressort de lèvre est comprimé et étiré ; la masse de lèvre subit une force de rappel quand la lèvre est écartée de sa position d'équilibre. Quand le ressort est comprimé, les lèvres tendent à s'ouvrir avec un déplacement positif de la lèvre supérieure (vers le haut ou vers l'extérieur). Le ressort ainsi comprimé provoque une contrainte négative sur le bord de la lèvre. Quand le ressort est étiré, les lèvres tendent à se fermer avec un déplacement négatif de la lèvre supérieure. Le ressort ainsi étiré provoque une contrainte positive sur le bord de la lèvre. En conséquence, nous pouvons en déduire que la contrainte et le déplacement de la lèvre supérieure sont en opposition de phase. En outre, si on considère le buzzing, on peut comprendre que la lèvre inférieure favorise cette relation d'opposition de phase. Quand la lèvre supérieure heurte la lèvre inférieure, l'impulsion de pression fournie par la lèvre inférieure donne à la lèvre supérieure un effort négatif et un déplacement positif pour rouvrir les lèvres juste après la collision. Puisqu'un effort négatif sur le bord de la lèvre donne une contrainte négative, la relation d'opposition de phase mentionnée ci-dessus est renforcée. Quand la lèvre supérieure s'écarte de la lèvre inférieure, la dynamique des lèvre est commandée par la force de rappel interne. La relation d'opposition de phase est toujours une hypothèse qui nécessite d'autres éclaircissements.
Par conséquent nous avons la relation suivante :

(Lp – Lξ)MEAS = (Lp – Lε)MEAS – 180°,       (2)

où ξ et ε sont respectivement le déplacement et la contrainte de la lèvre. En outre, ( )MEAS désigne la valeur obtenue par le système de mesure présenté aux fig. l(a) et (c). La différence de phase vraie est ainsi dérivée des équations (1) et (2) comme suit :

Lp – Lξ = (Lp – Lξ)MEAS – Φ = (Lp – Lε)MEAS – (Lp – Lε)CAL       (3)

Les valeurs (Lp – Lε)CAL définissent une courbe de "différence de phase nulle", dont des exemples seront montrés dans la section I D.
Notre méthode de détection des contraintes dans le comportement des lèvres nécessite quelques commentaires. Selon Martin4, les mouvements ascendants et extérieurs de la lèvre supérieure sont presque en phase et forment une ouverture. D'ailleurs, l'aire d'ouverture de lèvre est approximativement proportionnelle à l'écartement central qui est principalement du au mouvement ascendant de la lèvre supérieure. Par conséquent nous pouvons considérer que le mouvement ascendant est plus significatif que le mouvement vers l'extérieur. Cela ressort également de la comparaison entre les figures 4 et 5 dans la réf. 4. En fait, on obtenait un signal de sortie plus important de la jauge de contrainte quand elle était fixée dans une position plus intérieure de la lèvre supérieure. Mais la jauge avait tendance à sortir en raison de l'humidité dans la bouche et de la circulation d'air le long de la surface de la lèvre. Aussi la jauge a été fixée à une position appropriée, pas trop profondément, pas trop extérieure, de sorte qu'elle puisse durer au moins quelques heures pour l'expérience. Fixée à une position appropriée, la jauge était bien visible dans un miroir en prenant la configuration d'embouchure pour jouer des instruments. Par conséquent la jauge de contrainte peut détecter le mouvement vers l'extérieur comme le mouvement ascendant, bien que le rapport des sensibilités à ces mouvements ne soit pas connu. En outre, la lèvre supérieure est considérée comme le principal vibrateur4,31,32, en particulier aux fréquences les plus élevées.

Figure 2. Différence de phase entre la pression acoustique et la contrainte dynamique dans le système d'étalonnage des fig. l(b) et (c). L'axe des ordonnées de gauche et des abscisses du haut (de 100 à 450 Hz) se rapportent aux jauges Bl et B2. L'axe des ordonnées de droite et des abscisses du bas (de 280 à 315 Hz) se rapportent à la jauge A.

D. Courbe de différence de phase nulle

Les valeurs mesurées de (Lp – Lε)CAL, qui définissent la différence de phase nulle utilisée pour évaluer (Lp – Lξ) selon l'éq. (3), sont montrés dans la fig. 2. Les réponses des jauges Bl et B2, qui incluent des conducteurs additionnels de 77 centimètres et 60 centimètres, respectivement, ont été mesurées avec le système décrit dans la section I A. D'autre part, la réponse de la jauge A, qui inclut un fil d'approximativement 100 centimètres, a été mesurée avec un autre système se composant d'un circuit en pont fabriqué à la main, d'un amplificateur (modèle 451 d'Ithaco) et d'un filtre passe-bande (modèle N-F FV-625A) dont la largeur de bande a été réglée à 100 Hz. En outre, un petit microphone à électret a été utilisé au lieu du microphone de mesure pour mesurer la différence de phase avec la jauge A. Ce système un peu bricolé a été appliqué à un tube excité par les lèvres sans embouchure8, et les résultats expérimentaux sont décrits dans la section II A.
Les courbes d'étalonnage pour les jauges B1 et B2 montrées à la fig. 2 indiquent que la différence de phase entre les canaux de pression et de contrainte a la même dépendance par rapport à la fréquence, bien que la cause de la petite différence d'amplitude entre eux ne soit pas expliquée. Le fil très fin (28 mm de long) sortant de la jauge elle-même n'était pas très solide, et a été parfois cassé par l'effort entre le bord de l'embouchure et la lèvre supérieure. À cette occasion la jauge cassée a été remplacée par une neuve, mais la mesure (Lp – Lε)CAL n'a pas été refaite. Les trois courbes dans la fig. 2 sont utilisées pour définir la différence de phase nulle dans la section II.

II. RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX

A. Tube résonant sans embouchure

Figure 3. Différence de phase (Lp – Lε)MEAS dans des tubes excités sans embouchure : (a) tube 1, avec la jauge A, (b) tube 3, avec la jauge B2. Symbole • : lèvre supérieure relativement mince étirée en longueur, o : lèvre supérieure relativement détendue et rentrant dans le tube.

La résonance de deux tubes cylindrique différents directement soufflés sans embouchure a été étudiée il y a plusieurs années8. Le tube 1 était long de 282 mm avec un diamètre intérieur de 30 mm, alors que le tube 2 était long de 400 mm avec un diamètre intérieur de 37 mm. À ce stade, on a utilisé le système de mesure plus simple avec la jauge A (voir la section I D). La pression acoustique dans un tube de résine acrylique (Plexiglass) a été captée par un petit microphone à électret encastré dans la paroi à environ 15 mm de la lèvre supérieure. Plus tard la même expérience a été répétée à l'aide d'un troisième tube, le tube 3 (286 mm de long, 25 mm de diamètre intérieur), en utilisant le système de mesure avec la jauge B2 (décrit dans la section I A) pour reconfirmer les résultats précédents.
Les figures 3(a) et (b) montrent les résultats sur le tube 1 et le tube 3, respectivement. La distribution expérimentale des données dans la figure 3(a) se divise clairement en deux groupes : un groupe a de plus basses fréquences et des différences de phase positives [nous considérons le Lp – Lξ dans l'éq. (3)] ; l'autre a des fréquences plus élevées et des différences de phase négatives. Un résultat très semblable a été dérivé du tube 2 plus grand. D'autre part, la fig. 3(b) se compose presque de seulement un groupe avec des différences de phase positives. Le groupe des différences de phase négatives peut corroborer le modèle de vibration de lèvre vers l'extérieur, alors que le groupe des différences positives est incompatible avec ce modèle, mais suggère un modèle à une masse de vibration verticale des lèvres33.
On a pu produire des fréquences de son plus élevées donnant des différences de phase négatives en étirant les lèvres serrées et en rendant la lèvre supérieure tendue et mince (cf. symbole • dans la fig. 3). Mais on a produit des fréquences plus basses donnant des différences de phase positives, en détendant les lèvres et en faisant dépasser la lèvre supérieure (cf. symbole o dans la fig. 3). La configuration de jeu dépend de la flexibilité des lèvres, qui dépend à son tour du diamètre du tube sur lequel elles s'appuient. Ce diamètre influence la liberté vibratoire. Une telle interdépendance doit être complexe et subtile parce que la différence entre 3(a) et (b) vient d'une petite différence de diamètre de tube entre le tube 1 et le tube 3.
Comme l'analyse de cette interdépendance est difficile, nous devons limiter nos conclusions à ce qui suit : Les expériences avec les tubes les plus grands (1 et 2) confirment les modèles de vibration vers l'extérieur et de vibration verticale de la lèvre ; le tube plus petit (3) soutient à peine le modèle de vibration de la lèvre vers l'extérieur. La validité de ce jugement et notre méthode de mesure de différence de phase décrite dans la section I seront reconfirmées dans la section III B par la relation entre la fréquence jouée et la fréquence de résonance propre de l'instrument.

B. Tube non résonant avec une embouchure

Beaucoup de joueurs de cuivre ont un tube pour pratiquer silencieusement le "buzzing" et exercer leur contrôle des lèvres dans une embouchure. La figure 4 montre ce tube de travail avec une embouchure de cor (Lawson S660) ainsi qu'une jauge de contrainte, un circuit en pont, un microphone de mesure et les tubes résonants avec une embouchure (voir la section II C). Le tube de travail comprend les 18 premier centimètres (coniques) d'une branche d'embouchure de cor fixés à un court tube cylindrique fermé avec un grand trou latéral. En ajustant la taille de l'ouverture de trou, l'instrumentiste peut contrôler la "résistance" pendant la pratique. Ce tube inhibe toutes les harmoniques jouables, mais laisse assez de rétroaction pour donner au joueur une sensation semblable à celle de son instrument. Dans ce sens ce tube est non résonant28,29 et peut donc être utilisé pour examiner le comportement de la lèvre dans une embouchure sur une grande plage de fréquence.
Le résultat expérimental présenté fig. 5 montre que la différence de phase Lp – Lξ de l'éq. (3) a des valeurs négatives de –10° à –40° excepté pour quelques points. En raison du caractère non résonant du système embouchure – tube, la fréquence jouée varie dans une large plage de 250 à 445 Hz au lieu de la bande étroite montrée dans la fig. 3 pour le tube résonant excité avec les lèvres. On a également obtenu des résultats semblables en utilisant une embouchure de trompette (Bach 5C) au lieu d'une embouchure de cor. Les valeurs négatives de la différence de phase suggèrent que la lèvre supérieure fonctionne en mode de vibration vers l'extérieur avec un système embouchure – tube non-résonant.

C. Tube résonant avec une embouchure

Figure 4. Ensembles tube non résonant – embouchure et tube résonants – embouchure, (a) embouchure de cor (Lawson S660), (b) tube non résonant d'entraînement, (c) jauge de contrainte, (d) circuit en pont, (e) microphone de mesure, (f) embouchure de trompette (Bach 5C), (g) tube résonant Rl, et (h) tube résonant R2. Figure 5. Différence de phase entre la pression acoustique p dans l'embouchure et la contrainte ε de la lèvre quand on émet un son avec un système embouchure – tube non résonant (voir la fig. 4). o : Données mesurées pour un tube bouché à l'extrémité. •: Données mesurées pour un tube non bouché. La jauge B1 a été utilisée pour la détection de contrainte. Figure 6. Différence de phase mesurée entre la pression acoustique p dans l'embouchure et la contrainteε de la lèvre du joueur avec les systèmes acoustiques suivants : o, système embouchure de trompette – tube résonant Rl, •, système embouchure de cor – tube résonant R1, et D, système embouchure de cor – tube résonant R2. La jauge B2 a été utilisée pour la détection de contrainte.

Comme les résultats expérimentaux du système embouchure – tube non résonant semblent montrer seulement un comportement des lèvres qui "buzzent" sans rétroaction acoustique significative, il faut faire des expériences additionnelles sur un système embouchure – tube résonant.
On a pris deux types de tube en laiton (voir fig. 4) : le tube Rl était de 350 mm de long avec un diamètre intérieur de 7mm sauf du côté d'un récepteur d'embouchure de 15 mm avec un diamètre intérieur de 7,8 mm ; le tube R2 est de 300 mm de long avec un diamètre intérieur de 21 mm sauf du côté d'un récepteur d'embouchure de 41 mm dans lequel la géométrie intérieure passe de cylindrique (15 mm de long et 7,8 mm de diamètre intérieur) à conique tronqué (26 mm de long). Ces tubes sont bien adaptés à une embouchure de cor. Comme l'embouchure de trompette a une queue plus grosse que celle de cor, un raccord approprié est inséré entre l'embouchure de trompette et le tube.
Les résultats expérimentaux présentés fig. 6 indiquent que les trois couples (embouchure de trompette – tube R1, embouchure de cor – tube R1 et embouchure de cor – tube R2) montrent des différences de phase négatives Lp – Lξ allant d'environ –20° à environ –70°. Ceci suggère que le modèle de lèvre vibrant vers l'extérieur est valable même dans les systèmes embouchure – tubes résonants. De plus, comme décrit dans la section III B, la fréquence de résonance calculée du système embouchure – tube résonant est clairement inférieure à la fréquence jouée comme le montre la fig 6. Cette relation de fréquence confirme la fiabilité de la relation de phase de la fig. 6 et la prédominance du modèle de lèvre vibrant vers l'extérieur. Cependant, il convient de noter que ce résultat expérimental est limité seulement au mode fondamental parce que l'excitation des résonances plus élevés était trop difficile.
En outre, il faut noter que les systèmes embouchure – tubes résonants ont une bande de fréquence de résonance beaucoup plus large que les tubes excités par les lèvres sans embouchure. La largeur de bande de résonance des uns est de 30-40 Hz comme on le voit fig. 6, alors que celle de ces derniers est d'environ 10 Hz comme le montre la fig. 3. Une largeur de bande de résonance aussi large est probablement due au couplage entre les cavités de la cuvette d'embouchure et de la bouche du joueur. Ce couplage peut se produire parce que la résistance et l'inductance de l'ouverture de lèvre sont négligeables dans l'excitation du premier mode à fréquence basse5,24. Voir la section III B pour des discussions plus détaillées.

D. Trompette et cor

La figure 7 montre les résultats expérimentaux d'une trompette (modèle d'étude Yamaha 2320E avec embouchure Bach 5C) et d'un cor (Alexander 103 avec une embouchure Lawson S660). La trompette a été jouée par l'auteur qui n'avait aucune expérience de cet instrument avant cette séance, pendant laquelle il a essayé plusieurs embouchures différentes. Il n'a pas pu jouer une note plus haute que la cinquième résonance. En outre, il lui était difficile de contrôler le volume, aussi les données repérées par le symbole ♦ dans la fig. 7 correspondent à une émission voisine de mf. En revanche, le cor a été joué par un musicien semi-professionnel ayant plus de dix ans d'expérience dans des orchestres symphoniques. Aucune consigne particulière sur la manière de jouer ne lui a été donnée pour l'expérience, aussi il a joué de son instrument naturellement après quelques minutes pour s'habituer à une lèvre supérieure équipée d'une jauge de contrainte. Pendant l'expérience, on lui a donné des consignes de volume sonore. Les données repérées par le symbole o indiquent un volume au-dessous du mp; celles repérées par le symbole • un volume au-dessus du mf.
D'après la fig. 7, la différence de phase Lp – Lξ entre la pression dans l'embouchure et le déplacement de la lèvre devient positive excepté pour la deuxième résonance. En outre, excepté la 11ème résonance du cor, cette différence de phase augmente quand on excite les résonances supérieures. Le volume sonore affecte la différence de phase pour le cor. Bien que des sons plus forts de la même résonance semblent donner de plus grandes valeurs absolues de la différence de phase, les 5ème et 11ème résonances vont à l'encontre cette tendance. Des résultats de la fig. 7, nous pouvons qualitativement conclure ce qui suit : le modèle de lèvre vibrant vers l'extérieur est applicable à la deuxième résonance inférieure ; le modèle vertical prédomine dans les résonances supérieures.

III. DISCUSSION

A. Formes d'onde de pression dans l'embouchure et de contrainte de lèvre

Figure 7. Différence de phase mesurée entre la pression acoustique dans l'embouchure p et la contrainte de la lèvre du joueur ε dans la trompette et le cor. La jauge B2 a été utilisée pour la détection de contrainte.

La figure 8 présente les formes d'onde de la pression p dans l'embouchure et de la contrainteε de lèvre pour quatre notes jouées sur un cor. Les notes sont jouées environ mf bien que la note Fa3 soit près de f.
L'amplitude absolue de la pression dans l'embouchure est déterminée à partir de la référence 50mV interne de l'amplificateur (type 2609 de B&K) et de la sensibilité nominale (3.16mV/Pa) du microphone de mesure. Celle de la contrainte de la lèvre est déterminée par une référence interne qui peut être établie arbitrairement. Comme les signaux de pression et de contrainte sont échantillonnés toutes les 1 ms, les formes d'onde dans la fig. 8 ne sont pas aussi lisses que celles qu'on obtient avec un oscilloscope analogique. Néanmoins, la fig. 8 montre les caractéristiques communes aux cuivres : la pression dans l'embouchure pour les notes graves est pratiquement non-sinusoïdale, alors que celle des notes aiguës est presque sinusoïdale5,24. Par ailleurs, il n'y a aucun résultat expérimental antérieur avec lequel comparer la forme d'onde de contrainte. D'après la fig. 8, la forme d'onde de contrainte passe de non-sinusoïdale pour les notes graves à presque sinusoïdale pour les notes aiguës, exactement comme la forme d'onde de pression. Cependant, la forme d'onde de contrainte ne suit pas la forme d'onde de pression, en particulier pour les notes graves.
En outre, contrairement à la vibration quasi sinusoïdale de la lèvre4, la contrainte de la lèvre est non sinusoïdale. Ce caractère non sinusoïdal pourrait dépendre de l'intervalle de temps pendant lequel les lèvres se ferment. Par exemple, la forme d'onde de contrainte pour Ut3 semble montrer la fermeture de lèvres sur environ un tiers du cycle (rappelez-vous qu'une contrainte positive correspond à un déplacement négatif comme discuté dans la section I C). Cette durée de fermeture semble diminuer pour les notes aiguës et par conséquent la forme d'onde de contrainte de rapproche de la sinusoïde. Il faut cependant plus de données expérimentales pour construire une explication définitive de cette différence intéressante entre les formes d'onde de déplacement et de contrainte.

B. Fréquence jouée et fréquence de résonance

Figure 8. Formes d'onde de pression d'embouchure et de contrainte de lèvre mesurées pour les notes Fa2, Sol3, Fa3, et La3 jouées mf au cor.

La relation entre les fréquences jouables et les résonances propres de l'instrument permet de trancher entre une vibration de la lèvre vers l'extérieur ou verticale. Donc dans cette sous-section on comparera les fréquences de résonance calculées des tubes excités par les lèvres et des systèmes embouchure – tubes résonants par rapport aux fréquences produites en jouant. Une telle comparaison doit permettre de confirmer les résultats des mesures de différence de phase.
Pour calculer la fréquence de résonance il faut évacuer le problème de la température qui détermine la vitesse du son moyenne dans les systèmes acoustiques mentionnés ci-dessus. Elliott et Bowsher5 ont soigneusement estimé la distribution de la température pour évaluer l'accord réel du trombone, basée sur la mesure suivante de Wogram34: la température décroît presque exponentiellement d'environ 33° à l'embouchure, à 26° à mi-chemin de l'instrument et à 24°C (température ambiante) au pavillon. Dans notre cas de géometries cylindriques simples pour la résonance, la température moyenne peut être estimée grossièrement à la moyenne arithmétique de la température à l'embouchure (ou à l'entrée du tube) (environ 33°C) et de la température ambiante (environ 21°C), c'est-à-dire 27°C. Cette température moyenne donne une vitesse du son moyenne de 347,4 m/S.35
Calculons d'abord les fréquences de résonance des tubes 1 et 3 (cf. section II A). Leurs longueurs acoustiques sont de 291,3 et 293,8 mm, respectivement, où la correction d'extrémité est donnée par 0,62 x (rayon de tube). Les lèvres du joueur, qui rentrent dans le tube, affectent à peine cette longueur acoustique parce que la section des tubes est beaucoup plus grande que l'ouverture des lèvres. Les fréquences de résonance des tubes 1 et 3 sont alors de 298,1 et 295,6 Hz, respectivement. Si on reporte cette fréquence de résonance sur la fig. 3, on voit que la vibration vers l'extérieur se produit au-dessus de la résonance et la vibration verticale au-dessous. Ce résultat sur la relation de fréquence est tout à fait conforme au résultat sur la relation de phase de la fig. 3, et montre la fiabilité de notre méthode de mesure de différence de phase.
Ensuite considérons les effets de l'embouchure sur la résonance. La figure 9(a) montre un circuit électrique équivalent à un instrument de la famille des cuivres se composant d'un joueur, d'une embouchure, et d'un tube résonant. Une pression constante P0 aux poumons du joueur est appliquée à l'embouchure par la trachée, la bouche et l'ouverture de lèvres du joueur. Pour les résonances basses le schéma 9(a) peut être simplifié en 9(b) parce que la résistance instantanée Rs(t) et l'inductance Ls(t) de l'ouverture de lèvre sont négligeables comparées à l'amplitude de l'impédance Zh de l'instrument5,24. En conséquence, la capacité CM de la cuvette d'embouchure est couplée avec la capacité Cm de la bouche du joueur. Comme il n'est pas facile d'estimer la force de ce couplage, le côté du joueur représenté par la capacité C0 des poumons, l'inductance de la trachée L0 et la capacité de la bouche Cm dans 9(a) sont simplifiés comme une capacité équivalente C'm dans 9(b).
Le circuit de 9(b) est applicable au calcul de la fréquence de résonance du tube Rl avec une embouchure (cf. section II C). On ne connaît pas l'expression mathématique de Zh pour les cuivres réels, mais celle d'un tube cylindrique est donnée par

Zh = jZ0 tan kl,       (4)

où Z0 est l'impédance caractéristique, k le nombre d'onde et l la longueur acoustique. Pour simplifier, la dissipation d'énergie dans le tube est négligée dans l'éq. (4). La fréquence de résonance du circuit de 9(b) est donnée par le maximum de l'impédance d'entrée Zm vue de la bouche du joueur comme suit :

1/Zin = 1/(Zh + jωLM) + jωC = 0,       (5)

où

(la capacité couplée) C = CM + C'm = V / ρc²       (6)

(l'inductance de la queue) LM = ρlM /SM       (7)

Figure 9. Circuit électrique équivalent : (a) circuit équivalent aux cuivres, (b) circuit simplifié pour les cuivres dans le registre grave et pour les systèmes embouchure – tube résonants, où on postule le couplage entre la cuvette d'embouchure et la bouche du joueur.

Dans l'éq. (6) V désigne le volume couplé efficace de la cuvette d'embouchure et de la bouche du joueur en configuration de jeu, ρ la densité de l'air et c la vitesse moyenne du son (= 347,4 m/s). Dans l'éq. (7) lM et SM sont la longueur et la section de la queue d'embouchure, respectivement. Comme Z0 est donné par ρc/S (S : section du tube), l'éq. (5) peut être récrite comme :

tan kl = (lS / V)(1 / kl) – (lM / l)(S / SM) kl       (8)

en utilisant les éqs. (4), (6) et (7). Le tableau I donne les dimensions des systèmes embouchure – tube résonant R1 pour le cor et la trompette. La figure 10 montre les fréquences de résonance fres (= ck /2π) calculées à partir de l'éq. (8) et du tableau I.
Dans la fig. 10 fres est donnée en fonction du volume V de cavités couplées. Le volume de la cuvette de l'embouchure est diminué d'une quantité égale au volume déplacé par les lèvres du joueur appuyées contre le bord. Pour une embouchure de trombone, par exemple, le volume déplacé a été estimé à 2,5 ± 0,5 cm3 pour un volume de cuvette de 4,7 cm3. 22 Ce volume déplacé est estimé grossièrement à 1,5 cm3 pour le cor et à 0,5 cm3 pour la trompette (voir les courbes pleines dans la fig. 10). Le volume de cuvette est alors réduit à 1,4 cm3 pour le cor, et à 1,0 cm3 pour la trompette. Le volume de cuvette peut être encore plus réduit par les lèvres dans les conditions de jeu réelles de l'instrument. On fait l'hypothèse que le volume de cavité minimal est de 1,0 cm3 pour le cor et 0,5 cm3 pour la trompette (voir la courbe en trait plein dans la fig. 10). Une forte pénétration des lèvres dans l'embouchure, qui a comme conséquence une plus grande ouverture de lèvre, est probablement un facteur important de couplage de la cavité de la bouche du joueur avec celle de la cuvette. En faisant l'hypothèse que le volume de cavité maximal est de 3,0 cm3 pour le cor et la trompette dans les conditions de jeu, nous obtenons pratiquement la même bande de fréquences de résonance que sur la figure 6.

TABLEAU I. Dimensions des systèmes embouchure – tube résonant

		Cor embouchure – tube résonant R1	Trompette embouchure – tube résonant R1
Longueur acoustique du tube	l (mm)	346	370
Rayon du tube	a (mm)	3.5	3.5
Longueur de la queue d'embouchure	lM (mm)	40	74
Rayon de la queue d'embouchure	aM (mm)	3.1	4.2
Volume de la cuvette d'embouchure	VM (cm3)	2.9	1.5

Figure 10. Fréquence de résonance fres des systèmes embouchure – tube résonant en fonction du volume V de cavité dû au couplage entre la cuvette d'embouchure et la bouche du joueur. •: Embouchure de cor et tube résonant Rll. ♦: Embouchure de trompette et tube résonant Rl . La courbe en trait plein indique les valeurs possibles du volume de cavité dans des conditions de jeu .

Les fréquences de résonance calculées représentées par la courbe pleine de la fig. 10 sont clairement inférieures aux fréquences jouées montrée à la fig. 6. Ce résultat sur la relation de fréquence, qui corrobore le résultat sur la relation de phase de la fig. 6, indique une oscillation vers l'extérieur . Par conséquent on peut considérer que l'embouchure réduit la flexibilité des lèvres constatée avec les tubes excités directement et utilise seulement la vibration vers l'extérieur pour le premier des systèmes embouchure – tubes résonants avec le couplage des cavités bouche – embouchure .

C. Vibration vers l'extérieur contre vibration verticale

Les principales questions qui se posent au vu de la fig 7 sur la différence de phase Lp – Lξ dans le cor et la trompette sont les suivantes :
(1) comment se produit la transition depuis l'oscillation vers l'extérieur dans les résonances basses vers l'oscillation verticale autour de la troisième résonance ?
(2) qu'est-ce qui produit les valeurs beaucoup plus grandes de Lp – Lξ dans les résonances supérieures du cor (au-dessus de la huitième) ?
La première question semble être liée au changement drastique de forme d'onde sonore quand la vibration passe de la plus basse résonance (la seconde) à des modes plus élevés. Ce changement dépend essentiellement des amplitudes relatives Rs /|Zh| et Ls /|Zh| dans la fig. 9.5,24 Pour les résonances basses, Rs et Ls sont négligeables comparées à |Zh| comme le montre la figure 9(b). Par conséquent, l'oscillation et la forme d'onde sont déterminées par l'impédance Zin d'entrée définies par l'éq. (5). Cette impédance Zin devrait être capacitive pour la deuxième résonance du cor et de la trompette comme on le déduit des résultats montrés à la fig. 10 sur les premières résonances des systèmes embouchure – tubes résonants parce que leur différence de phase Lp – Lξ est négative comme le montre la fig. 6. L'oscillation vers l'extérieur résulte de l'impédance capacitive d'entrée. Cette capacité de Zin peut être contrôlée par le C de la cavité couplée bouche – embouchure .
Cependant, un tel couplage direct de cavité est rompu comme indiqué fig. 9(a) quand la résistance Rs et l'inductance Ls de l'ouverture des lèvres deviennent dominantes dans les résonances supérieures. En conséquence, l'impédance Zin d'entrée vue de la bouche du joueur tend à être inductive en raison de la faible influence de l'impédance de l'instrument Zh [à vérifier toutefois par le calcul numérique du circuit présenté en 9(a) en fonction de la fréquence]. Cette situation est susceptible de provoquer la vibration verticale et des formes d'onde plus sinusoïdales qui dépendent principalement de l'impédance non-linéaire de l'ouverture étroite des lèvres. Par conséquent la transition entre les régimes vibratoires, qui correspond très étroitement à la transition entre les formes d'onde de tonalité, sera déterminée par le découplage bouche – embouchure dû à l'impédance de l'ouverture étroite des lèvres.
En outre, une ouverture étroite de lèvre produit l'effet de Bernoulli. Bien que cet effet dépende du mode de séparation des flux à l'ouverture de lèvre et que les caractéristiques de cet écoulement ne soient pas connues exactement, nous pouvons postuler son existence comme dans le cas de la vibration des cordes vocales9,10,25,26. La pression instantanée ps(t) résultant d'une réduction de pression à une ouverture étroite est donnée par :

ps(t) = –ρUv(t) (9)

dans une approximation linéaire, où U et v(t) sont la vitesse moyenne d'écoulement et la vitesse d'écoulement instantanée, respectivement. En dérivant l'éq. (9) nous avons supposé que la pression à l'ouverture Ps peut être approximée par P0 – (1/2)ρ(U + v)2, où P0 est la pression de souffle constante9. Par conséquent l'amplitude de ps(t), qui donne le mouvement ascendant, augmente généralement avec la pression du souffle. D'autre part, puisque la pression d'embouchure diminue généralement pour les modes croissants20, la vibration verticale tend à être dominante pour les résonances supérieures dans les cuivres.
Il convient de noter que la pression instantanée ps(t) de l'éq. (9) agit sur une partie A de la lèvre parallèle au sens d'écoulement, alors que la pression dans l'embouchure agit sur la partie A¹ de la lèvre perpendiculaire au sens d'écoulement. Par conséquent le rapport A/A¹ semble être une autre cause possible du changement de mode de vibration. Ce rapport change selon la configuration de la lèvre, qui dépend de la pression du souffle et de la position de l'embouchure. Des pressions de souffle élevées peuvent rendre le rapport plus grand que 1 malgré l'amincissement de la lèvre dû à la tension élastique croissante nécessaire pour augmenter sa fréquence de résonance. Cette tendance est constatée dans l'euphonium6. En utilisant les valeurs observées de la largeur efficace b et de l'épaisseur efficace de la lèvre d, et en utilisant la valeur efficace de la hauteur h de lèvre (estimée en supposant leur théorie valable36), Saneyoshi et autres6 ont évalué A (=bd /2) et A¹ (= bh). Selon le tableau IV de la réf. 6, A¹ est légèrement plus grand que A pour la note la plus basse Sibl, mais A est plus grand que A¹ pour les autres notes plus élevées. Nous pouvons déduire du résultat de la fig. 7 qu'une situation semblable s'applique probablement au cor et à la trompette.
En outre, ils ont prédit la différence de phase Lp – Lξ à partir de la fréquence de jeu mesurée et son écart par rapport à la fréquence nominale de la résonance de l'instrument [cf. l'éq. (44) et la fig. 6 de la réf. 6]. Selon leurs résultats, la différence de phase dans l'euphonium est relativement grande et des augmente de 15° environ à 50° quand la note jouée monte de la première résonance (Sib1) à la huitième (Sib4).
Cette prédiction semble rejoindre qualitativement ce qu'on a vu à la fig. 7, bien que la deuxième résonance, la plus basse, du cor et de la trompette entretienne une vibration vers l'extérieur. Cet accord suggère la vérification expérimentale de leur théorie. Dans le cas de la résonance la plus basse des tubes excités sans embouchure, les lèvres du joueur peuvent utiliser pleinement leur flexibilité pour changer le rapport A/A¹ dans une large mesure. Dans ce cas deux régimes d'oscillation peuvent apparaître dans ce système malgré de basses pressions de souffle. Mais la flexibilité des lèvres est entravée par le bord de l'embouchure. Par conséquent seule la vibration vers l'extérieur est susceptible d'apparaître dans des tubes non résonant et résonants avec une embouchure quand la note correspondant à la résonance la plus basse est jouée avec de basses pressions de souffle.
Jusqu'ici nous avons considéré les trois candidats suivants pour le changement de mode de vibration dans le cor et la trompette : (1) le découplage de la bouche et de l'embouchure, (2) l'effet de Bernoulli à un faible écartement des lèvres, et (3) le rapport A/A¹ dans la configuration de lèvre vibrante. A partir de ces trois causes possibles du changement de mode vibratoire, il faudrait étudier la mécanique des tissus musculaires pour expliquer de façon cohérente comment l'augmentation de tension musculaire nécessaire pour augmenter la fréquence de résonance des lèvres entraîne une ouverture plus étroite de lèvre (= bξ) et une plus grande valeur de A/A¹ (= d/2h) simultanément. D'autres investigations sont nécessaires pour construire une description plus définie et plus quantitative sur la transition d'oscillation et pour indiquer la cause réelle de la transition.
Il reste toujours la question mentionnée dans le point (2) du premier paragraphe de cette sous-section. Il semble que les valeurs de Lp – Lξ au-dessus de la huitième résonance du cor soient trop grandes pour entretenir l'auto-oscillation, si nous supposons qu'il n'y a pas de différence de phase entre le déplacement de la lèvre et la vitesse acoustique du volume d'air qui excite l'instrument. Supposons donc que la vitesse instantanée du flux d'air à la sortie des lèvres v(t) soit proportionnelle à la vitesse de la lèvre supérieure quand elle se ferme, comme dans la vibration des cordes vocales:9 v = –α (dξ / dt), où α désigne une constante positive. Par conséquent nous tirons de l'éq. 9 :

ps = αρU (jωξ). (10)

Comme la pression acoustique dans l'embouchure p est approchée par ps,5,6 l'éq. (10) implique qu'il y aura une différence de phase de 90° entre p et ξ si les lèvres du joueur de cuivre vibrent exactement comme le prévoit le modèle à une masse des cordes vocales.
Il est donc très possible que la vibration verticale existe aux résonances supérieures à la huitième dans le cor. Cette hypothèse est principalement dérivée de l'inductance et de la résistance de l'air à l'ouverture de lèvre, mais les détails de la différence de phase sont affectés par la pression acoustique dans la bouche du joueur5, l'écoulement autour des lèvres37, les caractéristiques de résonance de l'instrument, le niveau sonore, etc. En outre, l'auteur s'est cantonné aux modèles unidimensionnels (vibration des lèvres vers l'extérieur ou verticale) pour se concentrer sur leurs aspects fondamentaux. On obtiendrait une explication plus complète de l'auto-oscillation des lèvres du joueur de cuivre en prenant en compte des modèles bidimensionnels de lèvre plus paramétrables15,16,19 ou des modèles de cordes vocales à deux masses25,26 Néanmoins, dans le cadre des discussions ci-dessus nous pouvons conclure que la vibration propre des lèvres dans des cuivres passe de la vibration vers l'extérieur à la vibration verticale quand on joue des notes de plus en plus hautes.

IV. CONCLUSIONS

Le comportement acoustique des lèvres du joueur de cuivre a été étudié expérimentalement sur quatre types de systèmes acoustiques : tubes excités par les lèvres sans embouchure, tube non résonant avec une embouchure, tubes résonants avec une embouchure, et vrais cuivres. La question principale était de savoir si les lèvres du joueur vibrent vers l'extérieur ou verticalement. On a mesuré la contrainte de la lèvre supérieure vibrante au lieu de la vitesse de déplacement de l'air près des lèvres en raison du caractère pratique et de la facilité de la détection de la contrainte tout en jouant de l'instrument. La différence de phase entre la pression dans l'embouchure et le déplacement de la lèvre a été dérivée de la différence de phase entre contrainte et pression et a été étalonnée à partir de la pression à proximité d'un diaphragme convexe vibrant sur lequel était fixée une jauge de contrainte. Postulant que cette différence de phase change de la même façon que celle de l'impédance d'entrée autour des résonances propres du système, une valeur négative (resp. positive) de cette différence de phase suggère une vibration vers l'extérieur (resp. verticale) des lèvres.

Les résultats expérimentaux ont montré que :
(1) les tubes larges excités par les lèvres peuvent entretenir les deux modes vibratoires, vers l'extérieur ou vertical, en raison de la capacité des lèvres à adopter facilement des configurations différentes. Mais un tube étroit ne peut entretenir que la vibration vers l'extérieur, et difficilement.
(2) les systèmes embouchure – tube non résonant peuvent presque entretenir la vibration vers l'extérieur sur une grand plage de fréquences. Le "buzzing" des lèvres correspond à ce système acoustique.
(3) les systèmes embouchure – tube résonant peuvent entretenir totalement la vibration vers l'extérieur. Ces systèmes ont une bande de fréquences de résonance beaucoup plus large que les tubes excités sans embouchure.
(4) le cor utilise la vibration vers l'extérieur pour la note la plus grave (deuxième résonance) et la vibration verticale pour les résonances supérieures. Dans la trompette les deuxième et quatrième résonances entretiennent respectivement la vibration vers l'extérieur et verticale, et les deux sont mélangées pour la troisième résonance.

La fréquence de résonance de l'instrument a été calculée et comparée à la fréquence jouée pour confirmer les résultats (1) et (3) ci-dessus. Ce résultat, qui indique que la vibration des lèvres vers l'extérieur (resp. verticale) se produit à une fréquence supérieure (resp. inférieure) à la résonance du tube, a démontré la fiabilité de la méthode de mesure des différences de phase. D'ailleurs, l'hypothèse du couplage des cavités embouchure / bouche du joueur dans le grave explique de façon plausible la largeur de bande de résonance mentionnée en (3). Cette hypothèse est justifiée par l'importance négligeable de l'impédance de l'ouverture des lèvres comparée à l'impédance d'entrée du tube5,24.
On a constaté une forte corrélation entre le régime d'oscillation et la forme d'onde dans le cor et la trompette : la pression dans l'embouchure dans le grave, en particulier à la deuxième résonance, est particulièrement non-sinusoïdale et entretenue par la vibration des lèvres vers l'extérieur ; dans l'aigu elle est plus sinusoïdale et entretenue par la vibration verticale des lèvres. Nous pensons que le changement de régime vibratoire et de forme d'onde dépendent de l'importance de l'impédance de l'ouverture des lèvres. Si cette impédance est négligeable en comparaison de l'impédance d'entrée de l'instrument vue de la bouche du joueur, le couplage de cavité entre la bouche du joueur et la cuvette d'embouchure se produira et donnera une impédance d'entrée capacitive qui favorise la vibration vers l'extérieur. Cette situation est très semblable au point (3) ci-dessus.
En revanche, quand l'impédance de l'ouverture des lèvres arrive au même ordre de grandeur que l'impédance d'entrée en augmentant la pression de souffle, le découplage des cavités aura comme conséquence une impédance d'entrée inductive qui favorise la vibration verticale. Comme la pression instantanée de Bernoulli à l'ouverture de lèvre et la surface de lèvre recevant cette pression augmentent avec la pression du souffle, la vibration verticale des lèvres tend à être prédominante pour les résonances supérieures des cuivres. La différence de phase entre pression et déplacement de la lèvre approche 90° quand on choisit une résonance au-dessus de la huitième. Ce résultat expérimental suggère que les lèvres du joueur de cuivre vibrent exactement comme prédit par le modèle à une masse des cordes vocales pour de telles résonances élevées.
Le présent article clarifie des aspects fondamentaux de la fonction des lèvres d'un joueur de cuivre. A partir de ces résultats, remarquons qu'il est essentiel pour les joueurs de cuivre de travailler non pas le "buzzing" mais la flexibilité des lèvres pour améliorer la précision du choix de résonance. Ainsi, inutile d'avoir un tube non résonant pour la pratique du "buzzing" parce qu'un tube non résonant entretient la vibration vers l'extérieur qui ne peut pas produire les notes aiguës des cuivres. Pour une analyse plus détaillée de l'émission du son dans les cuivres, il faudra analyser plus précisément le couplage et le découplage entre la bouche du joueur et l'embouchure via l'ouverture de lèvre, en particulier du point de vue de la dynamique des fluides..

REMERCIEMENTS

L'auteur remercie le professeur George R. Plitnik de l'université d'Etat de Frostburg d'avoir suggéré l'expérience sur un tube non résonant et de son aide pour l'expérience sur la trompette. L'auteur exprime également ses remerciements à Hiroyuki Ohtsuki des Laboratoires de Recherche sur le Traitement de l'Information Humaine ATR qui a joué le cor et au Dr. Seiji Adachi d'ATR pour son aide dans l'expérience avec le cor et pour ses commentaires sur le manuscrit. L'auteur est reconnaissant au Dr. James B. Cole du Laboratoire de Recherches Navales des États-Unis (temporairement à l'Institut de Recherche en Communication Electrique de l'université de Tohoku, Japon) pour sa révision soigneuse de l'expression anglaise. L'auteur remercie également le professeur Thoru Idogawa de l'Institut de Technologie de Saitama et le professeur Keinosuke Nagai de l'Université de Tsukuba pour leur soutien permanent de ces expériences. En conclusion, l'auteur voudrait exprimer sa reconnaissance aux réviseurs anonymes, qui ont apporté chacun des commentaires appropriés et des suggestions valables .

1H. L. F. Helmholtz, On the Sensations of Tone, translated by A. J. Ellis (Dover, New York, 1954), pp. 95-102.
2N. H. Fletcher, "Excitation mechanism in woodwind and brass instruments," Acustica 43, 63-72 (1979); 50, 159(E) (1982).
3N. H. Fletcher, R. K. Silk, and L. M. Douglas, "Acoustic admittance of air-driven reed generators," Acustica 50, 155-159 (1982).
4D. W. Martin, "Lip vibrations in a cornet mouthpiece," J. Acoust. Soc. Am. 13, 305-309 (1942).
5S. J. Elliott and J. M. Bowsher, "Regeneration in brass wind instruments," J. Sound Vib. 83, 181-217 (1982).
6J. Saneyoshi, H. Teramura, and S. Yoshikawa, " Feedback oscillations in reed woodwind and brasswind instruments," Acustica 62, 194-210 (1987).
7S. Yoshikawa, " Self-oscillation of brass instruments viewed from one-mass vocal cord vibration," Proceedings of the Spring Meeting of the Acoustical Society of Japan, pp. 379-380 (1987).
8S. Yoshikawa, "On the modeling of self-oscillation in brass instruments," J. Acoust. Soc. Am. Suppl. 1 84, S161 (1988).
9I. R. Titze, "The physics of small-amplitude oscillation of the vocal folds," J. Acoust. Soc. Am. 83, 1536-1552 (1988).
10K. Ishizaka and M. Matsudaira, " Fluid mechanical considerations of vocal cord vibration," Monograph No. 8, Speech Communications Research Laboratory, Santa Barbara, CA (1972).
11I. R. Titze and D. T. Talkin, "A theoretical study of the effects of various laryngeal configurations on the acoustics of phonation," J. Acoust. Soc. Am. 66, 60-74 (1979).
12M. E. Mclntyre, R. T. Schumacher, and J. Woodhouse, "On the oscillation of musical instruments," J. Acoust. Soc. Am. 74, 1325-1345 (1983).
13D. H. Keefe and M. Park, " Tutorial on physical models of wind instruments: II, Time domain simulations," Tech. Rep. Ser. No. 9002, School of Music, University of Washington, 1990.
14D. H. Keefe, "On sound production in brass instruments," J. Acoust. Soc. Am. Suppl. 1 87, S138 (1990).
15W. J. Strong, "Computer simulation of a trumpet," J. Acoust. Soc. Am. Suppl. 1 87, S138 (1990).
16W. J. Strong and J. D. Dudley, "Simulation of a player- trumpet system," Proceedings of the Stockholm Musical Acoustics Conference (unpublished).
17G. A. Redhead, "Toward a model of sound production in the trumpet for musical synthesis," Report, Department of Electrical and Electronic Engineering," University of Canterbury, Christchurch, New Zealand, 1993.
18S. Adachi and M. Sato (unpublished).
19S. Adachi and M. Sato, " Brass instrument simulation using a lip vibration model with two degrees of freedom," Tech. Rep. of the IEICE, No. EA94-25, 1994.
20J. D. Dudley and W. J. Strong, "A computer study of the effects of har-monicity in a brass wind instrument : Impedance curve, impulse response, and mouthpiece pressure with a hypothetical periodic input," Appl. Acoust. 30, 117-132 (1990).
21J. Backus, " Input impedance curves for the brass instruments," J. Acoust. Soc. Am. 60, 470-480 (1976).
22S. Elliott, J. Bowsher, and P. Watkinson, " Input and transfer response of brass wind instruments," J. Acoust. Soc. Am. 72, 1747-1760 (1982).
23R. Causse, J. Kergomard, and X. Lurton, " Input impedance of brass musical instruments-Comparison between experiment and numerical models," J. Acoust. Soc. Am. 75, 241-254 (1984).
24J. Backus and T. C. Hundley, " Harmonic generation in the trumpet," J. Acoust. Soc. Am. 49, 509-519 (1971).
25K. Ishizaka and J. L. Flanagan, "Synthesis of voiced sounds from a two-mass model of the vocal cords," Bell Syst. Tech. J. 51,1233-1268 (1972).
26I. R. Titze, "On the mechanics of vocal-fold vibration," J. Acoust. Soc. Am. 60, 1366-1380 (1976).
27N. H. Fletcher, "Autonomous vibration of the simple pressure-controlled valves in gas flows," J. Acoust. Soc. Am. 93, 2172-2180 (1993).
28S. Yoshikawa and G. R. Plitnik, "An experimental investigation of the phase difference between lip vibration and acoustic pressure in brass instrument mouthpieces," J. Acoust. Soc. Am. 94, 1834(A) (1993).
29S. Yoshikawa and G. R. Plitnik, "A preliminary investigation of brass player's lip behavior," J. Acoust. Soc. Jpn. (E) 14, 449-451 (1993).
30P. M. Morse, Vibration and Sound (McGraw-Hill, New York, 1948), 2nd ed., pp. 312-313.
31H. W. Henderson, "An experimental study of trumpet embouchure," J. Acoust. Soc. Am. 13, 58-64 (1942).
32R. D. Weast, "A stroboscopic analysis of lip function," The Instrumentalist 23, 44-46 (1963).
33Les termes techniques comme le modèle d'anche vibrant vers l'extérieur et le modèle à une masse des cordes vocales ont été abandonnées à ce stade parce qu'on parle maintenant de modélisation des lèvres. L'anche est remplacée par la lèvre, la corde vocale à une masse par la vibration verticale à une masse.
34K. Wogram, "A contribution to the measurement of the intonation of brass instruments," Ph.D. thesis, Technische Universitat Carolo-Wilhelmina, Braunschweig, 1972.
35L. L. Beranek, "Acoustic properties of gases," A merican Institute of Physics Handbook (McGraw-Hill, New York, 1963), 2nd ed.
36Comme Fletcher27 l'a justement remarqué, le concept d'anche vibrant vers l'intérieur semble être physiquement inapplicable aux cuivres. Dans la réf. 6, on a considéré hâtivement qu'une anche qui ne vibre pas vers l'extérieur vibre vers l'intérieur parce que la pression instantanée de Bernoulli dans le modèle des cordes vocales est approximée par la pression acoustique dans l'embouchure. Cependant, comme le montre la fig. 2 de la réf. 6, le modèle physique adopté dans la réf. 6 est essentiellement un modèle perpendiculaire semblable à celui montré à la fig. l (c) de la réf. 27, qui représente le mouvement des lèvres perpendiculaire à l'écoulement de l'air. Dans ce contexte, les concepts d'anche vibrant vers l'extérieur ou vers l'intérieur devraient être classés dans la catégorie des modèles parallèles, où l'anche vibre parallèlement au sens d'écoulement .
37A. Hirschberg, R. W. A. van der Laar, J. P. Marrou- Maurieres, A. P. J. Wijsnands, H. J. Dane, S. J. Kruijswijk, and A. J. M. Houtsma, "A quasi-stationary model of air flow in the reed channel of single-reed woodwind instruments," Acustica 70, 146-154 (1990).

Traduit de l'anglais par Joël Eymard pour le site web "Tout sur la trompette" (http://la.trompette.free.fr) avec l'autorisation de l'auteur.